Question

設(shè)數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B為常數(shù)，
(Ⅰ)求A與B的值；
(Ⅱ)證明數(shù)列｛a_n｝為等差數(shù)列；
(Ⅲ)證明不等式對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得，
由知，
解得A=-20，B=-8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，， ①
所以， ②
②-①，得， ③
所以， ④
④-③，得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120117/201201171518416871002.gif">，
所以，
又因?yàn)?n+2≠0，
所以，
又，
所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
要證，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120117/201201171518418591465.gif">，
故只要證，
即只要證，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120117/201201171518419531518.gif">=20m+20n-37，
所以命題得證。