Question

圓過點A（1，-2），B（-1，4），求
（1）周長最小的圓的方程；
（2）圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意，求出以線段AB為直徑的圓，即為所求周長最小的圓的方程；
（2）求出線段AB的中垂線與直線2x-y-4=0交點C（3，2），可得所求圓的圓心為C（3，2），求出AB的長即為圓的半徑長，由此即可得到圓心在直線2x-y-4=0上圓的方程．

解答：解：（1）∵圓過點A（1，-2），B（-1，4），且周長最小
∴所求的圓是以AB為直徑的圓，方程為
（x-1）（x+1）+（y+2）（y-4）=0，
化簡得x²+（y-1）²=10；
（2）線段AB的中垂線方程為：y=

1

3

x+1，與直線2x-y-4=0交點為C（3，2）
∴圓心在直線2x-y-4=0上的圓，圓心坐標為C（3，2）
半徑r=

(1-3)2+(-2-2)2

=2

5

可得所求圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=20

點評：本題給出兩個定點A、B，求經過AB周長最小的圓方程，并求圓心在定直線上的圓方程．著重考查了圓的標準方程和兩點間的距離公式等知識，屬于基礎題．