Question

定義在（0，+∞）上的函數f （x），對于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，當x＞1時，f（x）＜0．（Ⅰ）計算f（1）；（Ⅱ）證明f （x）在（0，+∞）上是減函數；（Ⅲ）當時，解不等式f（x²-3x）＞-1．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵定義在（0，+∞）上的函數f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
證明：（II）設0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴=．
因為0＜x₁＜x₂，則，而當x＞1時，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是減函數．
解：（Ⅲ）因為f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因為f（x）在（0，+∞）上是減函數，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集為{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．
分析：（Ⅰ）用賦值法求f（1）的值，因為定義在（0，+∞）上的函數f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，即可求出f（1）的值．
（Ⅱ）用函數單調性的定義證明，步驟是，先設所給區間上任意兩個自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小，比較時，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂用表示即可．
（Ⅲ）先根據以及f（m•n）=f（m）+f（n）求出f（4）=-1，把不等式f（x²-3x）＞-1化為f（x²-3x）＞f（4），再利用（II）中判斷的函數的單調性解不等式即可．
點評：本題主要考查了賦值法求抽象函數的函數值，抽象函數的單調性的證明，以及借助函數單調性解不等式．