Question

已知函數則關于x的方程f[f（x）]+k=0，給出下列四個命題：①存在實數k，使得方程恰有1個不同實根；②存在實數k，使得方程恰有2個不同實根；③存在實數k，使得方程恰有3個不同實根；④存在實數k，使得方程恰有4個不同實根；其中假命題的個數是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：由題意求出函數f[f（x）]的表達式，畫出它的圖象，利用單調性，判斷方程零點的個數即可．
解答：解：因為，所以f[f（x）]=，
關于x的方程f[f（x）]+k=0，令g（x）=，
f[f（x）]的圖象大致如圖：x＜0是減函數，x≥0是增函數．
方程f[f（x）]+k=0，：①存在實數k，使得方程恰有1個不同實根；正確．
②存在實數k，使得方程恰有2個不同實根；正確．
③存在實數k，使得方程恰有3個不同實根；不正確．
④存在實數k，使得方程恰有4個不同實根；不正確．
正確結果只有①②．
故選C．
點評：本題考查函數的零點與方程的根的問題，求出函數的表達式畫出圖象是解題的關鍵．