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若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:存在實(shí)數(shù)a,b(a<b)且[a,b]?D,使得:
①任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常數(shù));
②對(duì)于D內(nèi)任意y0,當(dāng)y0∉[a,b],總有f(y0)<C.
我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f(x)稱為“平頂型”函數(shù),稱C為“平頂高度”,稱b-a為“平頂寬度”.根據(jù)上述定義,解決下列問題:
(1)函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)?若是,求出“平頂高度”和“平頂寬度”;若不是,簡(jiǎn)要說明理由.
(2)已知數(shù)學(xué)公式是“平頂型”函數(shù),求出m,n的值.
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解:(1),------2′
則存在區(qū)間[-2,3]使x∈[-2,3]時(shí)f(x)=-5
且當(dāng)x<-2和x>3時(shí),f(x)<-5恒成立. 2′
所以函數(shù)f(x)是“平頂型”函數(shù),平頂高度為-5,平頂寬度為5.---2′
(2)存在區(qū)間[a,b]?[-2,+∞),使得恒成立----1′
則x2+2x+n=(mx-c)2恒成立,則----3′
當(dāng)m=n=1時(shí),不是“平頂型”函數(shù).
當(dāng)m=-1,n=1時(shí),是“平頂型”函數(shù)∴m=-1,n=1
(3)x≥-1時(shí),-2x-1=kx,則,得k<-2或k≥-1------2′
-2≤x<-1時(shí),1=kx,則,得--2′所以.1′
分析:(1)討論x的范圍去掉絕對(duì)值,然后根據(jù)“平頂型”函數(shù)定義進(jìn)行判定即可,再求出“平頂高度”和“平頂寬度”;
(2)存在區(qū)間[a,b]?[-2,+∞),使得恒成立,則x2+2x+n=(mx+c)2恒成立,從而求出m,n的值.
(3)討論x,用k表示出x,從而可求出k的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了新定義的函數(shù),以及恒成立問題,同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:存在實(shí)數(shù)a,b(a<b)且[a,b]?D,使得:
①任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常數(shù));
②對(duì)于D內(nèi)任意y0,當(dāng)y0∉[a,b],總有f(y0)<C.
我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f(x)稱為“平頂型”函數(shù),稱C為“平頂高度”,稱b-a為“平頂寬度”.根據(jù)上述定義,解決下列問題:
(1)函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)?若是,求出“平頂高度”和“平頂寬度”;若不是,簡(jiǎn)要說明理由.
(2)已知f(x)=mx-
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)
是“平頂型”函數(shù),求出m,n的值.
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市松江二中2012屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:存在實(shí)數(shù)a,b(a<b)且,使得:(1)任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常數(shù));(2)對(duì)于D內(nèi)任意y0,當(dāng)y0[a,b],總有f(y0)<C.我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f(x)稱為“平頂型”函數(shù),稱C為“平頂高度”,稱b-a為“平頂寬度”.根據(jù)上述定義,解決下列問題:

(1)函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)?若是,求出“平頂高度”和“平頂寬度”;若不是,簡(jiǎn)要說明理由.

(2)已知是“平頂型”函數(shù),求出m,n的值.

(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市松江二中2012屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:044

若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:存在實(shí)數(shù)a,b(a<b)且[a,b]D,使得:(1)任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常數(shù));

(2)對(duì)于D內(nèi)任意y0,當(dāng)y0[a,b],總有f(y0)<C.

我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f(x)稱為“平頂型”函數(shù),稱C為“平頂高度”,稱b-a為“平頂寬度”.根據(jù)上述定義,解決下列問題:

(1)函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)?若是,求出“平頂高度”和“平頂寬度”;若不是,簡(jiǎn)要說明理由.

(2)求實(shí)數(shù)n的值,使函數(shù)是“平頂型”函數(shù).

(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

若定義在D上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:存在實(shí)數(shù)a,b(a<b)且[a,b]?D,使得:
①任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常數(shù));
②對(duì)于D內(nèi)任意y0,當(dāng)y0∉[a,b],總有f(y0)<C.
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(1)函數(shù)f(x)=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)?若是,求出“平頂高度”和“平頂寬度”;若不是,簡(jiǎn)要說明理由.
(2)已知f(x)=mx-
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)
是“平頂型”函數(shù),求出m,n的值.
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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