Question

 已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145。

（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的能項b_n；

（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的通項a_n=loga(1+1/b_n)（其中a>0，且a≠1），記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和。試比較S_n與1/3logab_n+1的大小，并證明你的結論。

Answer 1

（Ⅰ）設數(shù)列的公差為，由題意得

 

解得  ∴ 

（Ⅱ）由，知

=

因此要比較與的大小，可先比較與的大小。

取有， 取有， 由此推測

 

若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質可斷定： S_n>1/2lgb_n+1。

下面用數(shù)學歸納法證明①式。

(i)當n=1時已驗證①式成立。

(ii)假設當n=k(k≥1)時，①式成立，即

 

那么，當n=k+1時，

∴ /2k+1(2k+2)> 。

因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1) >

這就是說①式當n=k+1時也成立。

由(i)，(ii)知①式對任何正整數(shù)n都成立。

由此證得：S_n=1/2lgb_n+1。