Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，AC∩BD=O，側棱AA₁⊥BD，AA₁=4，棱AA₁與底面所成的角為60°，點F為DC₁的中點．
（I）證明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）求三棱錐C₁-BCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）△DBC₁中利用中位線定理，得OF∥BC₁，結合線面平行的判定定理，可得OF∥平面BCC₁B₁；
（II）由BD與A₁A、AC兩條相交直線垂直，可得BD⊥平面ACC₁A₁，從而平面ABCD⊥平面ACC₁A₁．過A₁作A₁M⊥AC于M，得到A₁M⊥平面ABCD，且∠A₁AM是AA₁與底面所成的角．在Rt△AA₁M中，算出A₁M的長，再用正弦定理算出△BCD的面積，最后用錐體體積公式，可得三棱錐C₁-BCD的體積．
解答：解：（I）∵四邊形ABCD為菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中點…（2分）
又∵點F為C₁D的中點，
∴OF是△DBC₁的中位線，得OF∥BC₁，…（4分）
∵OF?平面BCC₁B₁，BC₁⊆平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁；…（6分）
（II）∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又∵BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ACC₁A₁，…（8分）
在平面ACC₁A₁內過A₁作A₁M⊥AC于M，則A₁M⊥平面ABCD，
∴AM是直線AA₁在平面ABCD內的射影，∠A₁AM=60°…（10分）
在Rt△AA₁M中，A₁M=AA₁•sin60°=2，
∴三棱錐C₁-BCD的底面BCD上的高為2，
又∵S_△BCD=BC•CD•sin60°=，
∴三棱錐C₁-BCD的體積V=×S_△BCD×A₁M=××2=2．…（12分）
點評：本題給出底面為菱形，且側棱垂直于一條對角線的四棱柱，求證線面平行并且求錐體體積，著重考查了線面平行的判定、面面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．