Question

在數1 和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積計作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=tana_n•tana_n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據在數1 和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，我們易得這n+2項的幾何平均數為10，故T_n=10ⁿ⁺²，進而根據對數的運算性質我們易計算出數列{a_n}的通項公式；
（II）根據（I）的結論，利用兩角差的正切公式，我們易將數列{b_n}的每一項拆成

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1的形式，進而得到結論．

解答：解：（I）∵在數1 和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，
又∵這n+2個數的乘積計作T_n，
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[

tan(4)-tan(3)

tan1

-1]+[

tan(5)-tan(4)

tan1

-1]+…+[

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1]
=

tan(n+3)-tan(3)

tan1

-n

點評：本題考查的知識點是等比數列的通項公式及數列與三角函數的綜合，其中根據已知求出這n+2項的幾何平均數為10，是解答本題的關鍵．