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【題目】乒乓球臺面被網分成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個不相交的區域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區域C,D,某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球,規定:回球一次,落點在C上記3分,在D上記1分,其它情況記0分.對落點在A上的來球,小明回球的落點在C上的概率為 ,在D上的概率為 ;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為 ,在D上的概率為 .假設共有兩次來球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響,求:

(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率;
(2)兩次回球結束后,小明得分之和ξ的分布列與數學期望.

【答案】
(1)解:小明回球前落點在A上,回球落點在乙上的概率為 + = ,

回球前落點在B上,回球落點在乙上的概率為 + = ,

故小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率P= ×(1﹣ )+(1﹣ )× = + =


(2)解:ξ的可能取值為0,1,2,3,4,6

其中P(ξ=0)=(1﹣ )×(1﹣ )= ;

P(ξ=1)= ×(1﹣ )+(1﹣ )× = ;

P(ξ=2)= × = ;

P(ξ=3)= ×(1﹣ )+(1﹣ )× = ;

P(ξ=4)= × + × =

P(ξ=6)= × = ;

故ξ的分布列為:

ξ

0

1

2

3

4

6

P

故ξ的數學期望為E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +6× =


【解析】(1)分別求出回球前落點在A上和B上時,回球落點在乙上的概率,進而根據分類分布原理,可得小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率;(2)兩次回球結束后,小明得分之和ξ的取值有0,1,2,3,4,6六種情況,求出隨機變量ξ的分布列,代入數學期望公式可得其數學期望Eξ.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識,掌握在射擊、產品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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