Question

（2012•安慶模擬）對批量（即一批產(chǎn)品中所含產(chǎn)品件數(shù)）很大的一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣質(zhì)量檢查時(shí)，采取隨機(jī)的一件一件地抽取進(jìn)行檢查．若檢查4件產(chǎn)品未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品合格；若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則也停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．假定該批產(chǎn)品的不合格率為

1

10

，檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X．
（1）求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求通過抽樣質(zhì)量檢查，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格的概率．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知X=1，2，3，4，分別求出P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）認(rèn)為該批量產(chǎn)品合格的概率是

9

10

×

9

10

×

9

10

×

9

10

，由此能求出該批量產(chǎn)品不合格的概率．

解答：解：（1）由題設(shè)知X=1，2，3，4，
P(X=1)=

1

10

，
P(X=2)=

9

10

×

1

10

=

9

100

，
P(X=3)=

9

10

×

9

10

×

1

10

=

81

1000

，
P(X=4)=(

9

10

)3=

729

1000

，…（4分）
∴隨機(jī)變量 X的分布列

X	1	2	3	4
P	1 10	9 100	81 1000	729 1000

數(shù)學(xué)期望E X=3.439…（8分）
（2）認(rèn)為該批量產(chǎn)品合格的概率是

9

10

×

9

10

×

9

10

×

9

10

，
從而該批量產(chǎn)品不合格的概率是P=1-(

9

10

)4=0.3439，
∴認(rèn)為該批量產(chǎn)品不合格的概率是0.3439…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．