Question

雙曲線

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂離心率為e．過F₂的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，若△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e²的值是（　　）

• A．1+2

  2

• B．3+2

  2

• C．4-2

  2

• D．5-2

  2

Answer 1

分析：設|AF₁|=|AB|=m，計算出|AF₂|=（1-

2

2

）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關系，從而求出e²的值．

解答：解：設|AF₁|=|AB|=m，則|BF₁|=

2

m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=

2

m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+

2

m-2a=m，
∴4a=

2

m，∴|AF₂|=（1-

2

2

）m，
∵△AF₁F₂為Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（

5

2

-

2

）m²，
∵4a=

2

m
∴4c²=（

5

2

-

2

）×8a²，
∴e²=5-2

2

故選D．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質，考查雙曲線的定義，解題的關鍵是確定|AF₂|，從而利用勾股定理求解．