Question

已知向量

a

，

b

是平面α內的一組基底，向量

c

=

a

+2

b

，對于平面α內異于

a

，

b

的不共線向量

m

，

n

，現給出下列命題：
①當

m

，

n

分別與

a

，

b

對應共線時，滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無數組；
②當

m

，

n

與

a

，

b

均不共線時，滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無數組；
③當

m

，

n

分別與

a

，

b

對應共線時，滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

不存在；
④當

m

與

a

共線，但向量

n

與向量

b

不共線時，滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無數組．
其中真命題的序號是

 

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據題意，分析命題：利用平面向量的基本定理，同一個向量在兩個方向上的分解是唯一的，判斷出①③的對錯；對于③④，由于基底的方向可以是任意的，所以對同一個向量分解唯一時，對應的基底可無數個，綜合可得答案．

解答：解：對應①，由平面向量基本定理，向量分解是唯一的；所以只有

a

，

b

滿足

c

=

a

+2

b

，不在存在

m

，

n

故①錯；
對于②，由于

m

 ，

n

方向任意，所以滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無數組，故②對；
對于③由①的判斷過程得到③對；
對于④，由于

n

向量的任意性，故可構成不同的基底；所以滿足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無數組，故④對
故答案為：②③④

點評：本題考查當基底的方向確定，則對于一個向量的分解是唯一的；當基底方向不確定，對于一個向量的分解系數確定，則基底無數個．