Question

設函數（a∈R，e為自然對數的底數）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（ ）
A．[1，e]
B．[1，1+e]
C．[e，1+e]
D．[0，1]

Answer 1

【答案】分析：根據題意，問題轉化為“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，且交點的橫坐標b∈[0，1]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，得到函數y=f（x）的圖象與y=x有交點，且交點橫坐標b∈[0，1]．因此，將方程化簡整理得e^x=x²-x+a，記F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，由零點存在性定理建立關于a的不等式組，解之即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函數f（x）的反函數
因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉化為
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，
且交點的橫坐標b∈[0，1]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[0，1]，
根據，化簡整理得e^x=x²-x+a
記F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，在同一坐標系內作出它們的圖象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即實數a的取值范圍為[1，e]
故選：A
點評：本題給出含有根號與指數式的基本初等函數，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數a的取值范圍．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的零點存在性定理和互為反函數的兩個函數的圖象特征等知識，屬于中檔題．