Question

（2012•棗莊一模）已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，橢圓上一點到一個焦點的最大值為3，圓C2：x2+y2+8x-2

3

y+7=0，點A是橢圓上的頂點，點P是橢圓C₁上不與橢圓頂點重合的任意一點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若直線AP與圓C₂相切，求點P的坐標；
（3）若點M是橢圓C₁上不與橢圓頂點重合且異于點P的任意一點，點M關于x軸的對稱點是點N，直線MP，NP分別交x軸于點E（x₁，0），點F（x₂，0），探究x₁•x₂是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據的離心率為

1

2

，橢圓上一點到一個焦點的最大值為3，建立方程組，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）設直線AP的方程為kx-y+

3

=0，利用直線AP與圓C₂相切，求得直線的斜率，從而可得點P的坐標；
（3）設M、P、N的坐標，利用M，P，E三點共線，N，P，F三點共線，結合M，P在橢圓上，即可求得x₁•x₂是定值．

解答：解：（1）由題意，

a+c=3 c a = 1 2

，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知A（0，

3

），且直線AP的斜率存在，設其斜率為k，則直線AP的方程為kx-y+

3

=0
圓C₂的圓心坐標為（-4，

3

），半徑為2

3

∵直線AP與圓C₂相切，
∴

|-4k- 3 + 3 |

k2+1

=2

3

∴k=±

3

k=

3

時，直線方程代入橢圓方程可得5x²+8x=0，∴x=0或x=-

8

5

，∴點P的坐標為（-

8

5

，-

3 3

5

）
同理可得k=-

3

時，點P的坐標為（

8

5

，-

3 3

5

）；
（3）設M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），則N（x₃，-y₃），
由M，P，E三點共線，可得

y4-y3

x4-x3

=

y4-0

x4-x1

，∴x1=

x3y4-x4y3

y4-y3

同理由N，P，F三點共線，可得x2=

x3y4+x4y3

y4+y3

∵M，P在橢圓上，∴

x32

4

+

y32

3

=1，

x42

4

+

y42

3

=1
∴x₁•x₂=

x3y4-x4y3

y4-y3

×

x3y4+x4y3

y4+y3

=4
∴x₁•x₂是定值，定值為4．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查三點共線，正確確定橢圓方程是關鍵．