Question

已知m，t∈R，函數f （x） =（x - t）³+m．

（I）當t =1時，

（i）若f （1） =1，求函數f （x）的單調區間；

（ii）若關于x的不等式f （x）≥x³—1在區間[1，2]上有解，求m的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線y= f （x）在其圖象上的兩點A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）處的切線分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點A與點B的關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）因為，所以，       1分

則， 而恒成立，

所以函數的單調遞增區間為．   4分

（ii）不等式在區間上有解，

即  不等式在區間上有解，

即  不等式在區間上有解，

等價于在區間上的最小值，                                6分

因為時，，

所以的取值范圍是．                         9分

（Ⅱ）因為的對稱中心為，

而可以由經平移得到，

所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱．   10分

對猜想證明如下：

因為

所以

所以，，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因為，

所以，，                                 12分

從而，

所以．

又由上

所以點關于點（對稱．

故直線與平行時，點與點關于點對稱．   14分