Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若1和2是函數(shù)h（x）的兩個極值點，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

，b≥2時，若對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂∈[1，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)h′（x），由1和2為函數(shù)h（x）的兩極值點，得h′（1）=0，h′（2）=0，聯(lián)立方程解出即可，注意檢驗；
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＞x₂，利用函數(shù)f（x），g（x）的單調(diào)性去掉不等式中的絕對值符號可轉(zhuǎn)化為f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），從而說明h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，故有h′（x）=

1

x

+x-b≥0成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化函數(shù)最值處理；

解答：解：（Ⅰ）h（x）=lnx+ax²-bx，h′（x）=

1

x

+2ax-b，
因為1和2為函數(shù)h（x）的兩極值點，
所以有

2a-b+1=0 4a-b+ 1 2 =0

，解得

a= 1 4 b= 3 2

，經(jīng)檢驗滿足條件，
所以a=

1

4

，b=

3

2

；
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＞x₂，因為f（x）=lnx在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
又g（x）=

1

2

x²-bx=

1

2

（x-b）²-

b2

2

，且b≥2，則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₂）-g（x₁），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|?f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，則h′（x）=

1

x

+x-b≥0成立，得b≤(

1

x

+x)min=2，
又b≥2，所以b=2．

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．