Question

【題目】如圖，點是圓內的一個定點，點是圓上的任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；

(2)點， ，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：

本題考查曲線方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系.（1）由條件根據定義法求解曲線方程.（2）設出直線的方程，然后根據根與系數的關系求得點的坐標.由點， ， 共線可得點的橫坐標，可得直線與軸的交點縱坐標為，由此可得， ，計算后可得結果.

試題解析：

(1)由題意得點在的垂直平分線上，

所以，

∴.

∴點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，

設橢圓的方程為,

則， ，

∴.

所以曲線的方程為.

(2)由題設知直線的斜率存在.設直線的方程為，

由消去整理得

，

設， ，

則，

又，

所以，

所以，

因為點， ， 共線，故，

即，

所以，

又直線與軸的交點縱坐標為，

所以， ，

所以.