Question

已知兩個命題p：直線y=mx+3與圓（x-3）²+（y-2）²=4相交的弦長大于2

3

；q：P（

1

2

，-1），Q（2，1）均在圓x²+y²+mx+y=0內．
（1）當p為真時，求實數m的取值范圍；
（2）若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據直線與圓相交時，弦長=2

r2-d2

，根據弦長大于2

3

，求出m的取值范圍；
（2）根據點在圓內的充要條件，求出命題q為真時m的取值范圍，再根據復合命題真值表判斷，若p∨q為真，p∧q為假，命題p、q一真一假，分兩種情況分別求出，然后求并集即可．

解答：解：（1）當p為真時，圓心到直線的距離d=

|3m+1|

m2+1

，
所以弦長 2

4-d2

＞2

3

⇒4-d^2＞3⇒d²＜1，即

9m2+6m+1

m2+1

＜1
整理得4m²+3m＜0，即-

3

4

＜m＜0．
∴當p為真時，實數m的取值范圍是-

3

4

＜m＜0；
（2）當q為真時，

1 4 +1+ 1 2 m-1＜0 4+1+2m+1＜0

⇒m＜-3
若p∨q為真，p∧q為假，根據復合命題真值表知：命題p、q一真一假，
若p真q假時，

- 3 4 ＜m＜0 m≥-3

⇒-

3

4

＜m＜0；
若p假q真時，

m≥0或m≤- 3 4 m＜-3

⇒m＜-3；
綜上m的取值范圍是-

3

4

＜m＜0或m＜-3．

點評：本題借助復合命題的真假判定，考查了直線與圓的相交弦長問題及點在圓內的充要條件，解題的關鍵是求出命題p、q為真時m的取值范圍．