Question

如圖，在海岸線一側(cè)C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米。公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點D處（點D異于A、B兩點），然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元。設(shè)∠，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元。

⑴寫出S關(guān)于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；

⑵問中轉(zhuǎn)點D距離A處多遠時，S最小？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）千米．

【解析】

試題分析：（1）首先發(fā)現(xiàn)運輸成本與路程有關(guān)，根據(jù)題意總運輸成本為，下面就是想辦法把用表示出來，由于，因此在中，利用正弦定理就可以用表示出，而，因此表達式易求．（2）由（1）求出了為的函數(shù)，問題變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032305021757814095/SYS201403230502429843173392_DA.files/image006.png">為何值時，函數(shù)取得最小值，可以用導數(shù)的知識加以解決，即求出，令，使的值一定函數(shù)的最值點，只是我們要考慮下是最大還是最小值而已，這個應(yīng)該是很好解決的．

試題解析：（1）由題在中，，

由正弦定理得，得

，        3分

∴

        7分

（2），令，得，        10分

當時，，當時，，∴當時，取得最小值．    12分

此時，，

∴中轉(zhuǎn)站距處千米時，運輸成本最小．        14分

考點：（1）正弦定理；（2）函數(shù)的最小值．