Question

【題目】已知函數f（x）= 為奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）用定義證明函數f（x）在區間（0，+∞）上為單調減函數；
（3）若關于x的不等式f（x）+a＜0對區間[1，3]上的任意實數x都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，

解得：m=1

（2）證明：f（x）=1+ ，

設0＜x1＜x2，

∵f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

又1＜2x1＜2x2，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，

∴ ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴函數f（x）在（0，+∞）遞減

（3）解：∵f（x）+a＜0對區間[1，3]上的任意實數x都成立，

∴a＜﹣f（x）對區間[1，3]上的任意實數x都成立，

∵f（x）在（0，+∞）遞減，

∴f（x）在[1，3]遞減，

∴f（x）的最大值是f（1）=3，

∴﹣f（x）的最小值是﹣3，

∴a＜﹣3

【解析】（1）根據函數的奇偶性求出m的值即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可；（3）問題轉化為a＜﹣f（x）對區間[1，3]上的任意實數x都成立，求出f（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．