Question

如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則稱這些函數為“同簇函數”．給出下列函數：
①f（x）=sinxcosx； 
②f（x）=

2

sin2x+1；
③f（x）=2sin（x+

π

4

）；       
④f（x）=sinx+

3

cosx．
其中“同簇函數”的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：由于f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），再根據函數圖象的平移變換規律，可得它與f（x）=2sin（x+

π

4

）的圖象間的關系．而其余的兩個函數的圖象僅經過平移沒法重合，還必須經過橫坐標（或縱坐標）的伸縮變換，故不是“同簇函數”．

解答：解：由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 與②f（x）=

2

sin2x+1的圖象僅經過平移沒法重合，還必須經過縱坐標的伸縮變換，故不是“同簇函數”．
由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 與④f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）的圖象僅經過平移沒法重合，還必須經過橫坐標的伸縮變換，故不是“同簇函數”．
②f（x）=

2

sin2x+1與③f（x）=2sin（x+

π

4

） 的圖象僅經過平移沒法重合，還必須經過橫坐標的伸縮變換，故不是“同簇函數”．
由于④f（x）=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
故把③f（x）=2sin（x+

π

4

）的圖象向左平移

π

12

，可得f（x）=2sin（x+

π

3

） 的圖象，
故③和④是“同簇函數”，
故選：D．

點評：本題主要考查行定義，函數圖象的平移變換規律，屬于基礎題．