Question

設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少于3，且各項之和為97²，這樣的數列共有

4

個．

Answer 1

分析：設等差數列首項為a，公差為d，由條件可得[2a+（n-1）d]n=2×97²，因為n為不小于3的自然數，97為素數，故n的值只可能為97，2×97，97²，2×97²四者之一．分d＞0、
d=0兩種情況，分別求出n、a、d，從而得出結論．

解答：解：設等差數列首項為a，公差為d，依題意有na+

1

2

n(n-1)d=972，即[2a+（n-1）d]n=2×97² ．
因為n為不小于3的自然數，97為素數，故n的值只可能為97，2×97，97²，2×97²四者之一．
若d＞0，則知2×97²≥n（n-1）d≥n（n-1）＞（n-1）²．
故只可能有n=97．于是 a+48d=97．
此時可得n=97，d=1，a=49 或 n=97，d=2，a=1．
若d=0時，則由（3）得na=97²，此時n=97，a=97 或 n=97²，a=1．
故符合條件的數列共有4個．
故答案為 4．

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．