Question

（2012•武漢模擬）設a∈R，函數f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）已知x₁=

e

（e為自然對數的底數）和x₂是函數f（x）的兩個不同的零點，求a的值并證明：x₂＞e

3

2

．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導函數f′（x），并確定函數的定義域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分別求得函數f（x）的單調增區間和單調減區間，進而利用極值定義求得函數的極值，由于導函數中含有參數a，故為解不等式的需要，需討論a的正負；
（II）將x₁=

e

代入函數f（x），即可得a的值，再利用（I）中的單調性和函數的零點存在性定理，證明函數的另一個零點x₂是在區間（e

3

2

，e

5

2

）上，即可證明結論

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
求導數，得f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函數，無極值；
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=

1

a

．
當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數．
∴當x=

1

a

時，f（x）有極大值，極大值為f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
綜上所述，當a≤0時，f（x）的遞增區間為（0，+∞），無極值；當a＞0時，f（x）的遞增區間為（0，

1

a

），遞減區間為（

1

a

，+∞），極大值為-lna-1
（Ⅱ）∵x₁=

e

是函數f（x）的零點，
∴f （

e

）=0，即

1

2

-a

e

=0，解得a=

1

2 e

=

e

2e

．
∴f（x）=lnx-

1

2 e

x．
∵f（e

3

2

）=

3

2

-

e

2

＞0，f（e

5

2

）=

5

2

-

e2

2

＜0，∴f（e

3

2

）•f（e

5

2

）＜0．
由（Ⅰ）知，函數f（x）在（2

e

，+∞）上單調遞減，
∴函數f（x）在區間（e

3

2

，e

5

2

）上有唯一零點，
因此x₂＞e

3

2

．

點評：本題主要考查了導數在函數單調性和函數極值中的應用，連續函數的零點存在性定理及其應用，分類討論的思想方法，屬中檔題