Question

已知過點A（0，1）斜率為k的直線l與圓（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
①求實數k的取值范圍；
②求線段MN的中點軌跡方程；
③求證：

AM

•

AN

為定值；
④若O為坐標原點，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：①根據條件寫出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由相切得到d等于圓的半徑r，根據圓的半徑等于1列出關于k的方程，求出k的值，然后根據直線與圓的位置關系即可寫出直線與圓有兩個交點時k的取值范圍；
②把直線l的方程與圓的方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理及中點坐標公式即可用k表示出x，同理用k表示出y，即可得到MN中點的軌跡方程；
③分別根據坐標表示出

AM

和

AN

，然后利用平面向量的數量積運算法則求出值為定值即可；
④分別用坐標表示出

OM

和

ON

，然后利用

OM

•

ON

=12列出關于k的方程，求出k的值即可．

解答：解：①過點A（0，1）斜率為k的直線l的方程為：y=kx+1，
當直線l與圓相切時，圓心（2，3）到直線l的距離d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，化簡得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因為直線l與圓相交于M，N兩點，所以實數k的取值范圍為：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
②把直線方程與圓方程聯立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁和x₂為（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的兩個根，
則MN中點橫坐標x=

x1+x2

2

=

2(1+k)

1+k2

，同理消去x得到關于y的一元二次方程（1+k²）y²-（2+4k+6k²）y+12k²+4k+1=0，
得到縱坐標y=

y1+y2

2

=

1+2k+3k2

1+k2

，
則線段MN的中點軌跡方程為：

x= 2(1+k) 1+k2 y= 1+2k+3k2 1+k2

；
③

AM

=（x₁，y₁-1），

AN

=（x₂，y₂-1），所以

AM

•

AN

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=7為常數．
④

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

點評：本題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式及韋達定理化簡求值，靈活運用中點坐標公式及整體代換化簡求值，掌握平面向量的數量積運算法則，是一道綜合性較強的題．