Question

（本小題滿分15分）

        已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5。

   （I）求拋物線G的方程；

   （II）如圖，過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明為定值；

   （III）過(guò)A、B分別作拋物G的切線交于點(diǎn)M，試求面積之和的最小值。

Answer 1

解：（1）由題知，      …………2分

所以拋物線G的方程為             …………4分

   （2）設(shè)直線AB方程，直線AB交拋物線G于點(diǎn)

由拋物線定義知 

所以        …………6分

由得          

顯然        

所以為定值1  …………8分

   （3）解法一：由

得直線AM方程        （1）

直線BM方程                      （2）…………9分

由（2）—（1）得

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為           …………10分

點(diǎn)M到直線AB距離    …………11分

弦AB長(zhǎng)為

                     …………12分

面積之和

……13分

當(dāng)k=0時(shí)，即AB方程為y=1時(shí)，面積之和最小值為2。……15分

解法二：（參考解法一相應(yīng)步驟給分）由解法一知…………11分

面積之和

其中d為點(diǎn)M到直線AB的距離；

，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立。

而當(dāng)k=0時(shí)，d也取到最小值2，             …………13分

當(dāng)k=0時(shí)，即AB方程為y=1時(shí)，面積之和最小值為2。

                     …………15分