Question

若橢圓C₁：的離心率等于，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點在橢圓的頂點上．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）求過點M（-1，0）的直線l與拋物線C₂交E、F兩點，又過E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當l₁⊥l₂時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據長半軸是2求出a的值，再表示出半焦距c，根據離心率的值求出b的值，從而可得到拋物線的焦點坐標，得到拋物線的標準方程．
（2）先根據題意設出直線l的方程和點E、F的坐標，然后對拋物線方程進行求導運算，進而得到切線l₁，l₂的斜率，根據l₁⊥l₂可得到x₁•x₂的值，再聯立直線l與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而可表示出兩根之積，再結合x₁•x₂的值可確定k的值，最后將k的值代入到直線方程即可得到答案．
解答：解：（1）已知橢圓的長半軸為2，半焦距
由離心率等于
∴b²=1∴橢圓的上頂點（0，1）∴拋物線的焦點為（0，1）
∴拋物線的方程為x²=4y
（2）由已知，直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y=k（x+1），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
，∴，
∴切線l₁，l₂的斜率分別為
當l₁⊥l₂時，，即x₁•x₂=-4
由得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此時k=1滿足①
∴直線l的方程為x-y+1=0
點評：本題主要考查橢圓、拋物線的基本性質和直線與拋物線的綜合問題．考查對基礎知識的綜合運用．