Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直，又f（x）在[m，m+1]上單調遞增，則m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-3]

B．[0，+∞）

C．（-∞，-3）∪（0，+∞）

D．（-∞，-3]∪[0，+∞）

Answer 1

分析：先求導函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直建立方程組，解之即可得到函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（x）在[m，m+1]上單調遞增，則f′（x）≥0的解集包含區(qū)間[m，m+1]，建立不等關系，解之即可．

解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因為函數(shù)在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，
得到：

f(-1)=2 f′(-1)=-3

即

-a+b=2 3a-2b=-3

解得：

a=1 b=3

，則f（x）=x³+3x²
f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2時，f（x）為增函數(shù)；
所以[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞）即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故選D．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．