Question

設集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N^*}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^*}，問是否存在非零整數a，使A∩B≠∅？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：假設A∩B≠∅，則方程組

y=2x-1 y=ax2-ax+a

有正整數解，消去y得x的二次方程，則由△≥0得a的范圍，根據a為非零整數求得a值，在把a代入上述二次方程求出x進行檢驗即可．

解答：解：假設A∩B≠∅，則方程組

y=2x-1 y=ax2-ax+a

有正整數解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

．
因a為非零整數，∴a=±1，
當a=-1時，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
當a=1時，代入（*），解得x=1或x=2，符合題意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此時A∩B={（1，1），（2，3）}．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查方程思想，考查學生解決問題的能力．