Question

【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區間；

(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍；

(3)在(2)的條件下(提示：可以用第(2)問的結論)，任意的，證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析 ．

【解析】

(1)確定函數的定義域，求，對分類討論確定區間上的根的情況，從而確定函數的單調區間；

(2)若在上恒成立，則只需函數即可，故根據第(1)問中函數的單調性，可確定當時函數有最大值，利用導數法可判斷，進而可得，從而可求得的范圍；

(3)可化為，結合由(2)得，時，，而，故可得，又，進而可證得結果．

(1)函數的定義域為,．

①當時，在上單調增

②當時，，所以在上單調增；

③當時，

令得，，所以在上單調遞增；

令得，，所以在上單調遞減．

(2)由(1)知，當時，在上單調增，且，

所以在上不恒成立；

當時，由(1)知，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，故只需即可，

令，，

所以當時，；當，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即，又，

所以,解得

綜上，的取值范圍是．

(3)注意：用第(2)題的結論：時，．

，

因為，所以，由(2)得，時，

令，則，因為，所以，即，

因為，所以．