Question

已知函數．
（1）若f（x）為奇函數，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據奇函數對應的關系式f（-x）=-f（x），列出方程化簡后求出a的值；
（2）由函數的解析式求出導數，根據導數的解析式和區間[3，+∞），判斷出f′（x）＞0，進而判斷出函數的單調性，求出函數的最小值，只要此最小值大于0即可．
解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域關于原點對稱，
若f（x）為奇函數，則，
即，解得a=0．
（2）由f（x）=得，，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得，
故a的取值范圍為．
點評：本題是有關函數的綜合題，利用函數的奇偶性的關系式進行求值，利用函數的導數的符號判斷函數的單調性，進而求出函數的最值，解決恒成立問題，考查了轉化思想和邏輯思維能力．