Question

甲、乙、丙三人進行象棋比賽，每兩人比賽一場，共賽三場．每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為

2

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

5

．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率；
（2）設在該次比賽中，甲得分為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）甲獲第一表示甲勝乙且甲勝丙，這兩個事件是相互獨立事件，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．丙獲第表示丙勝乙，根據對立事件的概率知概率，甲獲第一名且丙獲第二名的概率根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（2）由題意知ξ可能取的值為O、3、6，結合變量對應的事件，根據相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為

2

3

×

1

4

=

1

6

丙獲第二，則丙勝乙，其概率為1-

1

5

=

4

5

∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率為

1

6

×

4

5

=

2

15

（2）ξ可能取的值為O、3、6
甲兩場比賽皆輸的概率為P（ξ=0）=

1

3

×

3

4

=

1

4

甲兩場只勝一場的概率為P(ξ=3)=

2

3

×(1-

1

4

)+

1

4

×(1-

2

3

)=

7

12

甲兩場皆勝的概率為P(ξ=6)=

2

3

×

1

4

=

1

6

∴ξ的分布列是

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

∴ξ的期望值是Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率和對立事件的概率，本題是一個近幾年經常出現的一個問題，考的機會非常大．