Question

設二次函數滿足下列兩個條件：

①當時，的最小值為0，且成立；

②當時，≤恒成立.

（1）求的值；     

（2）求的解析式；

（3）求最大的實數(),使得存在實數,當時，有恒成立.

Answer 1

(1)  (2)  

(3) 存在t=－4 ,對任意的x∈[1,9] 恒有g(x)≤0, ∴m的最大值為9

解析:

(1)在②中令,有,故…………………….3分

(2)由①知二次函數的關于直線 對稱,且開口向上………..4分

故設此二次函數為,(),…………………6分

∵,∴……………………………………….……….7分

∴………………………………………………….8分

(3)假設存在,只需,就有.

則(x+t+1)²≤xx²＋(2t－2)x＋t²＋2t＋1≤0…….10分

令g(x)=x²＋(2t－2)x＋t²＋2t＋1,g(x)≤0,x∈[1,m]

………………………..12分

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9

即存在t=－4 ,對任意的x∈[1,9] 恒有g(x)≤0, ∴m的最大值為9……14分