Question

（2012•信陽模擬）已知x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個極值點
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）-

3

x

，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個極值點，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，得

2x2+x-3

x2

＜0，再結合函數的定義域能求出函數的單調減區間．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，設過點（2，5）與曲線g（x）的切線的切點坐標為（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），由此能夠推導出過點（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

解答：解：（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一個極值點，
f′（x）=2-

b

x2

+

1

x

，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，經檢驗，適合題意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，
得

2x2+x-3

x2

＜0，∴-

3

2

＜x＜1，
又∵x＞0（定義域），
∴函數的單調減區間為（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
設過點（2，5）與曲線g（x）的切線的切點坐標為（x₀，y₀），
∴

y0-5

x0-2

=g′(x0)，
即2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴lnx₀+

2

x0

-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴lnx₀+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∵h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）與x軸有兩個交點，
∴過點（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

點評：本題考查實數值的求法、求函數的減區間、判斷過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．