Question

已知函數f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，且f(0)=

3

2

，f(

π

4

)=

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調遞減區間；
（3）函數f（x）的圖象經過怎樣的平移才能使其對應的函數成為奇函數？

Answer 1

分析：（1）先由f（0）=

3

2

求得a，由f(

π

4

)=

1

2

求得b，進而求得函數f（x）的解析式，利用二倍角公式和兩角和公式化簡整理，進而根據T=

2π

w

求得函數的最小正周期．
（2）根據正弦函數的單調性可求得當函數單調減時2x+

π

3

的范圍，進而求得x的范圍，即函數的單調性減區間．
（3）根據函數的解析式可知奇函數的圖象左移

π

6

即得到f（x）的圖象，進而可推斷出函數f（x）的圖象右移

π

6

后對應的函數成為奇函數．

解答：解：（1）由f(0)=

3

2

，得2a-

3

2

=

3

2

，∴2a=

3

，則a=

3

2

，
由f(

π

4

)=

1

2

，得

3

2

+

b

2

-

3

2

=

1

2

，∴b=1，
∴f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)．
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3

2

π+2kπ，得

π

12

+kπ≤x≤

7

12

π+kπ，
∴f（x）的單調遞減區間是[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]（k∈Z）．
（3）∵f(x)=sin2(x+

π

6

)，
∴奇函數的圖象左移

π

6

即得到f（x）的圖象，
故函數f（x）的圖象右移

π

6

后對應的函數成為奇函數．

點評：本題主要考查了三角函數的周期及其求法，三角函數的單調性，函數圖象的平移，考查了對基礎知識的綜合把握．