Question

若函數f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,

(Ⅰ)a_n=f(0)+f()+f()+……+f()+f(1).

數列｛a_n｝是等差數列嗎？試證明你的結論.

(Ⅱ)若｛｝的前幾項和為T_n,T_n＜λa_n+1對一切n∈N^*都成立，求實數λ的范圍.

Answer 1

解:(Ⅰ)a_n=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),

a_n=f(1)+f(1-)+f(1-)+…+f()+f(0),

∴2a_n=(n+1)2,∴a_n=n+1,

∵a_n-a_n-1=1,(n∈N^*,n≥2),

∴｛a_n｝是等差數列

（Ⅱ）令b_n=,則b_n==-

T_n=b₁+b₂+…+b_n

=++…+

=(-)+(-)+…+(-)

=-

=

∵T_n＜λa_n+1對n∈N^*都成立，

∴＜λ(n+2),

∴λ＞,又=≤=(當且僅當n=2時取“=”)

∴λ＞.