Question

已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b²+c²=a²+bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理表示出cosA，把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，然后把所求的式子利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，將sinA的值代入即可求出值；
（2）由a=2和sinA的值，根據正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可得到周長的最大值．

解答：解：（1）∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
結合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=

3

2

；
（2）由a=2，結合正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
則a+b+c=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC
=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin（

2π

3

-B）
=2+2

3

sinB+2cosB=2+4sin（B+

π

6

），
可知周長的最大值為6．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的值域，是一道中檔題．