Question

如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點P在圓Q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地．

（1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；

（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．

 

Answer 1

【解】（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H，

S_△RST=．　　　　　　　　 ……………………2分

由題意，△RST在月牙形公園里，

RT與圓Q只能相切或相離；　　　　　　　　　　　 ……………………4分

RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，

則有RT≤4，SH≤2，

當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立． 此時，場地面積的最大值為S_△RST==4（km²）．　　 ……………………6分

（2）同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，

AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=，則有

．

　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

令，則

．　　 ………………… 11分

若，，

又時，，時，，　　　　　　 …………………14分

函數在處取到極大值也是最大值，

故時，場地面積取得最大值為（km²）．　　　　　 …………………16分