Question

若直線y=kx+1與曲線x=

y2+1

有兩個不同的交點，則k的取值范圍是

-

2

＜k＜-1

．

Answer 1

分析：直線y=kx+1是過定點（0，1）的直線系方程，曲線x=

y2+1

表示雙曲線x²-y²=1的右支，將y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，消元可得（1-k²）x²-2kx-2=0，將直線y=kx+1與曲線x=

y2+1

有兩個不同的交點，轉(zhuǎn)化為方程（1-k²）x²-2kx-2=0有兩個不等的正根，故可求k的取值范圍．

解答：解：直線y=kx+1是過定點（0，1）的直線系方程，曲線x=

y2+1

表示雙曲線x²-y²=1的右支
將y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，消元可得（1-k²）x²-2kx-2=0
∵直線y=kx+1與曲線x=

y2+1

有兩個不同的交點，
∴方程（1-k²）x²-2kx-2=0有兩個不等的正根
∴

4k2+8(1-k2)＞0 2k 1-k2 ＞0 - 2 1-k2 ＞0

，∴-

2

＜k＜-1
∴k的取值范圍是-

2

＜k＜-1
故答案為：-

2

＜k＜-1

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關鍵是將直線y=kx+1與曲線x=

y2+1

有兩個不同的交點，轉(zhuǎn)化為方程（1-k²）x²-2kx-2=0有兩個不等的正根，屬于中檔題．