Question

【題目】若，為自然數(shù)，則下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序號是__________．

Answer 1

【答案】①③.

【解析】

對于①根據(jù)不等式,作差并構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小;對于不等式②,根據(jù)移項(xiàng)變形,構(gòu)造函數(shù),通過求即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,比較大小即可;對于③,構(gòu)造函數(shù),利用換底公式,求導(dǎo)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而比較大小即可.

對于①若成立.兩邊同時取對數(shù)可得

,化簡得

因?yàn)?/span>

則,不等式兩邊同時除以可得

令,

則

當(dāng)時, ,所以

即在內(nèi)單調(diào)遞增

所以當(dāng)時,即

所以

故①正確

對于②若,化簡可得

令,

則

由可知在內(nèi)單調(diào)遞增

而

所以在內(nèi)先負(fù)后正

因而在內(nèi)先遞減,再遞增,所以當(dāng)時無法判斷與的大小關(guān)系.故②錯誤.

對于③,若

令

利用換底公式化簡可得,

則

當(dāng)時,

所以,即

則在內(nèi)單調(diào)遞減

所以當(dāng)時,

即

所以③正確

綜上可知,正確的為①③

故答案為: ①③