Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x₀，2）何（x₀+2π，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）若銳角θ滿足cosθ=

1

3

，求f（4θ）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的函數(shù)圖象可知A，由

T

2

=2π可求得ω，再由f（0）=1可求得φ，繼而可求得x₀的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（4θ）=2sin（2θ+

π

6

），由cosθ=

1

3

，θ為銳角可求得sin2θ與cos2θ的值，從而可求得答案．

解答：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與運算能力，屬于中檔題．

點評：解：（Ⅰ）由f（x）的函數(shù)圖象知A=2，

T

2

=2π，
∴T=

2π

ω

=4π，
∴ω=

1

2

．
又f（0）=1，即2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
又f（x₀）=2sin（

1

2

x₀+

π

6

）=2，
∴sin（

1

2

x₀+

π

6

）=1，
∴由圖知

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

，
∴x₀=

2π

3

．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），
∴f（4θ）=2sin（2θ+

π

6

），
又cosθ=

1

3

，θ為銳角，
∴cos2θ=2cos²θ-1=-

7

9

，sin2θ=2sinθcosθ=

4 2

9

，
∴f（4θ）=2sin（2θ+

π

6

），
=2sin2θcos

π

6

+2cos2θsin

π

6

=2×

4 2

9

×

3

2

+2×（-

7

9

）×

1

2

=

4 6 -7

9

．