Question

現有A、B、C、D四個長方體容器,A、B的底面積為a²,高分別為a和b,C、D的底面積均為b²,高分別為a和b(其中a≠b).現規定一種游戲規則:每人一次從四個容器中取兩個,盛水多者為勝,問先取者有沒有必勝的方案?若有的話有幾種?

Answer 1

解：依題意可知A、B、C、D四個容器的容積分別為a³,a²b,ab²,b³.按照游戲規則,先取者試用三種不同的取法:①取A、B;②取A、C;③取A、D.問題的實質是比較容積兩兩和的大小.

①若先取A、B,則后取者只能取C、D.

∵(a³+a²b)-(ab²+b³)

=a²(a+b)-b²(a+b)

=(a-b)(a+b)²,

    顯然(a+b)²＞0,而a與b的大小不確定,

∴(a-b)(a+b)²的正負不能確定,

    即a³+a²b與ab²+b³的大小不定,這種取法無必勝的把握.

②若先取A、C,則后取者只能是B、D.

∵(a³+ab²)-(a²b+b³)

=a(a²+b²)-b(a²+b²)=(a-b)(a²+b²),

∴類似于①的分析知,這種取法也無必勝的把握.

③若先取A、D,則后取者只能是B、C.

∵(a³+b³)-(a²b+ab²)=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)=(a+b)(a²-2ab+b²)=(a+b)(a-b)²,

    又a≠b,a＞0,b＞0,∴(a+b)(a-b)²＞0,

    即a³+b³＞a²b+ab².

    故先取A、D是唯一必勝的方案.