Question

已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F為AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC中點G，連接FG、BG，根據三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進而得到EF∥BG，再結合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）根據已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（Ⅲ）方法一：四棱錐四棱錐A-BCDE分為兩個三棱錐E-ABC和E-ADC，分別求出三棱錐E-ABC和E-ADC的體積，即可得到四棱錐A-BCDE的體積．
方法二：取BC的中點為O，連接AO，可證AO⊥平面BCDE，即AO為V_A-BCDE的高，求出底面面積和高代入棱錐體積公式即可求出四棱錐A-BCDE的體積．

解答：證明：（Ⅰ）取AC中點G，連接FG、BG，
∵F，G分別是AD，AC的中點 
∴FG∥CD，且FG=

1

2

DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF?面ABC，BG?面ABC
∴EF∥面ABC…（4分）
（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
解：（Ⅲ）
方法一：連接EC，該四棱錐分為兩個三棱錐E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=

1

3

×

3

4

×1+

1

3

×1×

3

2

=

3

12

+

3

6

=

3

4

．…（12分）
方法二：取BC的中點為O，連接AO，則AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO為V_A-BCDE的高，AO=

3

2

，SBCDE=

(1+2)×1

2

=

3

2

，∴VA-BCDE=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

3

4

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．