Question

如圖，已知C、F是以AB為直徑的半圓O上的兩點，且CF=CB，過C作CD⊥AF交AF的延長線與點D．
（Ⅰ）證明：CD為圓O的切線；
（Ⅱ）若AD=3，AB=4，求AC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行線的判定和性質定理、切線得出判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用相似三角形的性質定理即可求出．

解答：（Ⅰ）證明：∵CF=CB，∴∠CAF=∠CAB．
∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠ACO，∴AF∥OC．
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC．
∴CD為圓O的切線．
（Ⅱ）解：連接BC，由（Ⅰ）知∠CAD=∠CAB．
又∠CDA=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．
∴

AD

AC

=

AC

AB

．
∴AC²=AD•AB=12，∴AC=2

3

．

點評：熟練掌握平行線的判定和性質定理、切線得出判定定理、相似三角形的性質定理是解題的關鍵．