Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)的關(guān)于x的方程f（x）-logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（，1）
B．（1，4）
C．（1，8）
D．（8，+∞）

Answer 1

【答案】分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）內(nèi)的圖象，結(jié)合題意可得到關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到答案．
解答：解：∵當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=-1，
∴當(dāng)x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），
∴f（-x）=-1=-1，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=-1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且f（4+x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，
∵在區(qū)間（-2，6）內(nèi)的關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實(shí)數(shù)根，
令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）內(nèi)有有4個交點(diǎn)，
在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）內(nèi)的圖象，
∴0＜log_a（6+2）＜1，
∴a＞8．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，求得f（x）的解析式，作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）內(nèi)的圖象是關(guān)鍵，考查作圖能力與數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．