Question

10．已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函數(shù)$f（x）=\frac{x}{[x]}-m$（x≥1）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{3}{2}，2}]$
• B． $[{\frac{3}{2}，2}）$
• C． $[{\frac{5}{4}，\frac{4}{3}}）$
• D． $[{\frac{5}{4}，\frac{4}{3}}]$

Answer 1

分析 由f（x）=0得 $\frac{x}{[x]}$=m，令g（x）=$\frac{x}{[x]}$，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{x}{[x]}$-m=0得：$\frac{x}{[x]}$=m，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）=x，此時(shí)1≤g（x）＜2，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）=$\frac{1}{2}x$，此時(shí)1≤g（x）＜$\frac{3}{2}$，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）=$\frac{1}{3}x$，此時(shí)≤1g（x）＜$\frac{4}{3}$，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）=$\frac{1}{4}$x，此時(shí)1≤g（x）＜$\frac{5}{4}$，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使函數(shù)$f（x）=\frac{x}{[x]}-m$（x≥1）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=m有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知$\frac{5}{4}$≤m$＜\frac{4}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．