Question

設動點M（x，y）（x≥0）到定點F（2，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程C；
（Ⅱ）設過點F的直線l交曲線C于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）依題意知，動點M到定點F（2，0）的距離等于M到直線x=-2的距離，由拋物線的定義求出曲線C的方程；
（II）設直線l的方程為x=my+2，代入拋物線方程，利用韋達定理，即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，動點M到定點F（2，0）的距離等于M到直線x=-2的距離，
曲線C是以原點為頂點，F(xiàn)（2，0）為焦點的拋物線．
∴曲線C的方程是y²=8x．
（II）設直線l的方程為x=my+2，代入拋物線方程，可得：y²-8my-16=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴△AOB的面積=

1

2

|OF||y1-y2|=

64m2+64

≥8，即△AOB的面積最小值為8．

點評：本題主要考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．