Question

圓臺的上、下底面半徑分別為6和12，平行于底面的截面自上而下分母線為2：1兩部分，則截面的面積為

100π

．

Answer 1

分析：如圖，圓臺的軸截面為ABCD，截得此圓臺的圓錐的軸截面為OAB，圓臺上底半徑為FC=6，下底半徑為EB=12，截面半徑為MN．利用三角形相似求得OC、MN的值，即可求得截面的面積．

解答：解：如圖，圓臺的軸截面為ABCD，截得此圓臺的圓錐的軸截面為OAB，
圓臺上底半徑為FC=6，下底半徑為EB=12，截面半徑為MN，
則由題意可得，可令CN=2x，BN=x．
由直角三角形OFC與直角三角形OEB相似可得

FC

EB

=

OC

OB

，即

6

12

=

OC

OC+2x+x

，
∴OC=3x．
再由△PMN與△OEB相似可得

MN

EB

=

ON

OB

，即

MN

12

=

3x+2x

3x+2x+x

，解得 MN=10，
故截面的面積為 π MN²=100π，
故答案為 100π．

點評：本題主要考查三角形相似的性質，求旋轉體的截面面積，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．