Question

給出四個命題：
①存在一個△ABC，使得sinA+cosA=-1；
②△ABC中，∠A＞∠B的充要條件為sinA＞sinB；
③直線x=

π

8

是函數y=sin(2x+

5

4

π)圖象的一條對稱軸；
④若關于x方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有解，則實數a的取值范圍為a≥0或a≤-8．
正確的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，兩邊同時平方可得sinAcosA=0，結合sinA+cosA=-1可判斷
②由A＞B．?a＞b?2RsinA＞2RsinB
③由于函數y=sin（2x+

5π

4

）的對稱軸為：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，從而可判斷
④若關于x方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有解，（令t=3^x＞0），則t²+（a+3）t+4=0有大于0的根，則

△=(a+3)2-16≥0 t1+t2=-(a+3)＞0

，解不等式可求a

解答：解：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，兩邊同時平方可得1+2sinAcosA=1
∴sinAcosA=0
若sinA=0，則cosA=-1，A 不存在；若cosA=0，則sinA=-1，A不存在故①錯誤
②由A＞B．三角形的大邊對大角可得a＞b，再由正弦定理可得，2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，反之也成立，故②正確
③由于函數y=sin（2x+

5π

4

）的對稱軸為：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，即x=

1

2

kπ-

3π

8

，令k=0可得函數的一條對稱軸為x=

π

8

，故③正確
④若關于x方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有解，（令t=3^x＞0），則t²+（a+3）t+4=0有大于0的根
則

△=(a+3)2-16≥0 t1+t2=-(a+3)＞0

∴

a≥0或a≤-8 a＜-3

則實數a的取值范圍為a≤-8．故④錯誤
故選：B

點評：本題主要考查了三角函數的同角平方關系、三角形的正弦定理及大邊對大角的應用，三角函數的對稱軸的求解及二次方程的實根分布的問題，是函數與三角函數的知識的綜合應用．