Question

已知函數，數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（Ⅰ）求證：數列是等差數列；
（Ⅱ）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若對一切n∈N^*成立，求最小正整數m．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=，取倒數可得，從而數列是等差數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根據b_n=a_n-1•a_n（n≥2），可得，進而可裂項求和
，從而將，轉化為對一切n∈N^*成立，故可求．
解答：證明：（Ⅰ）∵，
∴a_n+1=
∴
∴數列是等差數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知；
當n≥2時，
當n=1時，上式同樣成立
∴
∴，即對一切n∈N^*成立，
又隨n遞增，且
∴，
∴m≥2011，
∴m_最小=2011
點評：本題以函數為載體，考查構造法證明等差數列，考查裂項求和，考查恒成立問題，綜合性強．