Question

已知t＞0，設函數f（x）=x³-

3(t+1)

2

x2+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上無極值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）≤xe^x-m+2（e為自然對數的底數）對任意x∈[0，+∞）恒成立時m的最大值為1，求t的取
值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數，令導數為0，再由f（x）在（0，2）上無極值，即可求得t；
（Ⅱ）對t討論，分①當0＜t＜1時，②當t=1時，③當1＜t＜2時，④當t≥2時，求出單調區間，極值，進而確定最值，解不等式，即可得到t的范圍；
（Ⅲ）運用參數分離，得到m≤xe^x-x³+

3(t+1)

2

x²-3tx+1=x（e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t）+1對x≥0恒成立．
g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t，x≥0，由于m的最大值為1．則g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t≥0恒成立．
對g（x）二次求導，求出單調區間，求出極值和最值，判斷g（x）的單調性，即可得到t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3（t+1）x+3t=3（x-1）（x-t），
令f′（x）=0，則x=1或t，
又f（x）在（0，2）無極值，由于1∈（0，2），則t=1；                                 
（Ⅱ）①當0＜t＜1時，f（x）在（0，t）單調遞增，在（t，1）單調遞減，在（1，2）單調遞增，
∴f（t）≥f（2），由f（t）≥f（2）得：-t³+3t²≥4在0＜t＜1時無解．
②當t=1時，不合題意；
③當1＜t＜2時，f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，t）單調遞減，在（t，2）單調遞增，
∴

f(1)≥f(2) 1＜t＜2

即

1 2 + 3t 2 ≥3 1＜t＜2

∴

5

3

≤t＜2；
④當t≥2時，f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，2）單調遞減，滿足條件．
綜上所述：t∈[

5

3

，+∞)時，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值．
（Ⅲ）若f（x）≤xe^x-m+2（e為自然對數的底數）對任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤xe^x-x³+

3(t+1)

2

x²-3tx+1=x（e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t）+1對x≥0恒成立．
令g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t，x≥0，由于m的最大值為1．
則g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t≥0恒成立，否則?x₀＞0，g（x₀）＜0，
則當x=x₀，m=1時，f（x）≤xe^x-m+2不恒成立，
由于g（0）=1-3t≥0，則0＜t≤

1

3

，
當0＜t≤

1

3

時，g′（x）=e^x-2x+

3(t+1)

2

，則g′′（x）=e^x-2；
若g′′（x）=0，則x=ln2，則g′（x）在（0，ln2）上遞減，
在（ln2，+∞）上遞增，則g′（x）_min=g′（ln2）=2+

3(t+1)

2

-ln2＞0，
則g（x）在x≥0上遞增，則g（x）≥g（0）=1-3t≥0，滿足條件，
故t的取值范圍是（0，

1

3

]．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．